データ分析と線形代数03
UPDATE: 2021-09-24 23:14:01
表1.1が表すアンケートデータ
D <- matrix(c(1,3,1,1,4,5,26,
1,2,1,3,1,3,22,
2,3,1,1,1,5,27,
1,2,2,1,1,5,34,
1,2,2,2,3,2,28,
3,4,1,1,3,5,20,
4,1,2,3,4,4,18,
4,4,1,2,4,4,30,
2,3,2,4,2,4,23,
1,2,2,1,4,1,32),
nrow = 10, ncol = 7, byrow = TRUE)
colnames(D) <- paste0("Q", 1:7)
rownames(D) <- paste0("ID", 1:10)
# 1.1のアンケートデータ
D## Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7
## ID1 1 3 1 1 4 5 26
## ID2 1 2 1 3 1 3 22
## ID3 2 3 1 1 1 5 27
## ID4 1 2 2 1 1 5 34
## ID5 1 2 2 2 3 2 28
## ID6 3 4 1 1 3 5 20
## ID7 4 1 2 3 4 4 18
## ID8 4 4 1 2 4 4 30
## ID9 2 3 2 4 2 4 23
## ID10 1 2 2 1 4 1 323章の章末問題
3.1 以下のベクトルがあるとき、1から10の2つのベクトルが直交するかどうかを答えよ。ただし、2つのベクトルの間で、直交性が定義されていない場合は「定義されていない」と答えること。
\[ \begin{eqnarray} \boldsymbol{ s } =\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1.5 \end{array}\right), \boldsymbol{ t } =\left(\begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array}\right), \boldsymbol{ v } =\left(\begin{array}{c} -3 \\ 4 \end{array}\right), \boldsymbol{ w } =\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right), \boldsymbol{ a } =\left(\begin{array}{c} 2 \\ -5 \\ 0 \end{array}\right), \boldsymbol{ b } =\left(\begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ -1 \end{array}\right), \boldsymbol{ c } =\left(\begin{array}{c} -5 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right), \boldsymbol{ d } =\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 7 \end{array}\right) \end{eqnarray} \]
s <- c(2, 1.5)
t <- c(5, 2)
v <- c(-3, 4)
w <- c(0, 0)
a <- c(2, -5, 0)
b <- c(3, 5, -1)
c <- c(-5, 3, 0)
d <- c(0, 0, 7)3.1.1 sとt
# 直交しない
s %*% t## [,1]
## [1,] 13library(matlib)
xlim <- c(0, 5)
ylim <- c(0, 5)
plot(xlim, ylim, type = "n", xlab = "Dim1", ylab = "Dim2", asp = 1)
abline(v = 0, h = 0, col = "gray")
grid()
vectors(rbind(s, t), col = c("red", "blue"))
3.1.2 vとs
# 直交する
v %*% s## [,1]
## [1,] 0xlim <- c(-5, 5)
ylim <- c(0, 5)
plot(xlim, ylim, type = "n", xlab = "X", ylab = "Y", asp = 1)
abline(v = 0, h = 0, col = "gray")
grid()
vectors(rbind(v, s), col = c("red", "blue"))
3.1.3 tとw
# 直交する
t %*% w## [,1]
## [1,] 0xlim <- c(0, 5)
ylim <- c(0, 5)
plot(xlim, ylim, type = "n", xlab = "Dim1", ylab = "Dim2", asp = 1)
abline(v = 0, h = 0, col = "gray")
grid()
vectors(rbind(t, w), col = c("red", "blue"))
3.1.4 vとt
# 直交しない
v %*% t## [,1]
## [1,] -7xlim <- c(-5, 5)
ylim <- c(0, 5)
plot(xlim, ylim, type = "n", xlab = "Dim1", ylab = "Dim2", asp = 1)
abline(v = 0, h = 0, col = "gray")
grid()
vectors(rbind(v, t), col = c("red", "blue"))
3.1.5 tとa
# 定義されない3.1.6 cとd
# 直交する
c %*% d## [,1]
## [1,] 03.1.7 bとc
# 直交する
b %*% c## [,1]
## [1,] 03.1.8 bとa
# 直交しない
b %*% a## [,1]
## [1,] -193.1.9 wとd
# 定義されない3.1.10 dとa
# 直交する
d %*% a## [,1]
## [1,] 03.2 1から12のベクトルの組が各々一次独立か一次従属かを答えよ。一次独立が定義されていない場合は「定義されていない」と答えること。
\[ \begin{eqnarray} (1) \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right), (2) \left(\begin{array}{c} -4 \\ -3 \end{array}\right), (3) \left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} -4 \\ 1 \end{array}\right), (4) \left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} -2 \\ -8 \end{array}\right), (5) \left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} -4 \\ 1 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 3 \\ -3 \end{array}\right), (6) \left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) (7) \left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right), \\ (8) \left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), (9) \left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), (10) \left(\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 0 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right), (11) \left(\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 0 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right), (12) \left(\begin{array}{c} 1.5 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 6 \\ -4 \\ 4 \end{array}\right) \end{eqnarray} \] ### 3.2.1 ゼロベクトル1つの組であり一次従属
3.2.2
非ゼロベクトル1つの組であり一次独立
3.2.3
一方が他方のスカラ倍ではなく一次独立
3.2.4
\[ -2 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -2 \\ -8 \end{array}\right) \] であり一次従属。
3.2.5
2次ベクトル3つからなる組であり、一次従属
3.2.6
一方が他方のスカラ倍ではなく一次独立
3.2.7
\[ \left(\begin{array}{c} −3 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right) = - \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right) \] であり一次従属。
3.2.8
ゼロベクトルを含む組であり一次従属
3.2.9
定義されない
3.2.10
ランクが3であるため、一次独立。
m <- matrix(
c(4, 2, 3,
5, 1,-2,
0, 2, 1),
nrow = 3,
ncol = 3,
byrow = TRUE
)
R(m)## [1] 33.2.11
3次ベクトル4つからなる組であり一次従属。
3.2.12
ランクが1であるため、一次従属。
m <- matrix(
c(1.5,-3, 6,-1, 2,-4,
1,-2, 4),
nrow = 3,
ncol = 3,
byrow = TRUE
)
R(m)## [1] 13.3 問題3.2の1から12について一次独立なベクトルの最大個数を求めよ。
この問題の回答は行なわない。
3.4 以下のベクトルについて、1から5に答えよ。
\[ \begin{eqnarray} \boldsymbol{ a } =\left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array}\right), \boldsymbol{ b } =\left(\begin{array}{c} -1 \\ -1 \end{array}\right), \boldsymbol{ c } =\left(\begin{array}{c} -3 \\ 4 \end{array}\right), \boldsymbol{ d } =\left(\begin{array}{c} -1 \\ 6 \end{array}\right), \boldsymbol{ f } =\left(\begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array}\right), \boldsymbol{ g } =\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right) \end{eqnarray} \]
3.4.1 E1を張る3つのベクトルからなる組を6つのベクトルから選べ。
\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{g}\)または\(\boldsymbol{c},\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)。
3.4.2 E1を張る2つのベクトルからなる組を6つのベクトルから選べ。ただしゼロベクトルを含まないものとする。
\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\)または\(\boldsymbol{c},\boldsymbol{f}\)。
3.4.3 fを含むE2の基底を6つのベクトルから選べ。
\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{a}\)、\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{b}\)、\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{d}\)。
3.4.4 E2の規定となる2つのベクトルからなる組を、6つのベクトルから選べ。ただし、bを含まないこと。
\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{c},\boldsymbol{d},\boldsymbol{f}\)から選んだ2つのベクトルの組み合わせ、ただし、\(\boldsymbol{c},\boldsymbol{f}\)の組み合わせは除く。
3.4.5 ベクトルあを含む2つのベクトルからなるベクトルの組で、一次従属な組を2組選べ。
\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\)および\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{g}\)。
セッション情報
sessionInfo()## R version 4.0.3 (2020-10-10)
## Platform: x86_64-apple-darwin17.0 (64-bit)
## Running under: macOS Big Sur 10.16
##
## Matrix products: default
## BLAS: /Library/Frameworks/R.framework/Versions/4.0/Resources/lib/libRblas.dylib
## LAPACK: /Library/Frameworks/R.framework/Versions/4.0/Resources/lib/libRlapack.dylib
##
## locale:
## [1] ja_JP.UTF-8/ja_JP.UTF-8/ja_JP.UTF-8/C/ja_JP.UTF-8/ja_JP.UTF-8
##
## attached base packages:
## [1] stats graphics grDevices utils datasets methods base
##
## other attached packages:
## [1] matlib_0.9.5
##
## loaded via a namespace (and not attached):
## [1] zip_2.1.1 Rcpp_1.0.6 highr_0.8 cellranger_1.1.0
## [5] compiler_4.0.3 pillar_1.6.2 forcats_0.5.1 tools_4.0.3
## [9] digest_0.6.27 jsonlite_1.7.2 evaluate_0.14 lifecycle_1.0.0
## [13] tibble_3.1.3 pkgconfig_2.0.3 rlang_0.4.10 openxlsx_4.2.3
## [17] crosstalk_1.1.1 curl_4.3 yaml_2.2.1 haven_2.3.1
## [21] xfun_0.24 rio_0.5.16 stringr_1.4.0 knitr_1.33
## [25] vctrs_0.3.8 htmlwidgets_1.5.3 systemfonts_1.0.2 hms_1.0.0
## [29] data.table_1.13.6 R6_2.5.0 textshaping_0.3.5 fansi_0.4.2
## [33] readxl_1.3.1 rgl_0.107.10 foreign_0.8-80 rmarkdown_2.6
## [37] carData_3.0-4 car_3.0-10 magrittr_2.0.1 htmltools_0.5.1.1
## [41] ellipsis_0.3.2 MASS_7.3-53 abind_1.4-5 xtable_1.8-4
## [45] ragg_1.1.3 utf8_1.1.4 stringi_1.5.3 crayon_1.4.0