StanとRでベイズ統計モデリング03
UPDATE: 2023-12-16 11:27:32.615089
はじめに
このノートは「StanとRでベイズ統計モデリング」の内容を写経することで、ベイズ統計への理解を深めていくために作成している。
基本的には気になった部分を写経しながら、ところどころ自分用の補足をメモすることで、「StanとRでベイズ統計モデリング」を読み進めるための自分用の補足資料になることを目指す。私の解釈がおかしく、メモが誤っている場合があるので注意。
今回は第5章「基本的な回帰とモデルのチェック」のチャプターの後半(ロジスティック回帰、ポアソン回帰の部分)を写経していく。
5.2.3 メカニズムの想像
第5章の後半では一般化線形モデルを扱う。まずは二項ロジスティック回帰モデル。目的変数はretio=Y/M=出席回数/授業総回数である。
二項ロジスティック回帰モデルは予測値が(0,1)の範囲を超えないように(-∞,+∞)の範囲で値を取る説明変数を変換する必要がある。一般的にはロジスティック関数\(1/\{1 +
exp(-x)\}\)を利用する。ロジスティック関数はロジット関数の逆関数なので、inverse_logitと表記されることもある。
出席確率\(q\)は、線形結合\(b_{1} + b_{2}A[n] + b_{3}Score[n]\)をロジスティック関数で変換することで決まり、その\(q\)をもとに\(M,q\)をパラメタとする二項分布に従って\(Y\)が生成されると仮定する。
\[ \begin{eqnarray} q[n] &=& inv\_logit(b_{1} + b_{2}A[n] + b_{3}Score[n]) \\ Y[n] &\sim& Binomial(M[n], q[n]) \end{eqnarray} \]
5.2.5 Stanで実装
モデル5-4をStanで実装した例は下記の通り。1人の学生ごとに\(inv\_logit(b_{1} + b_{2}A[n] +
b_{3}Score[n])\)によって変換されるq[n]とM[n]をパラメタとして持つ二項分布からY[n]が生成されると仮定している。
data {
int N;
int<lower=0, upper=1> A[N];
real<lower=0, upper=1> Score[N];
int<lower=0> M[N];
int<lower=0> Y[N];
}
parameters {
real b1;
real b2;
real b3;
}
transformed parameters {
real q[N];
for (n in 1:N){
q[n] = inv_logit(b1 + b2*A[n] + b3*Score[n]);
}
}
model {
for (n in 1:N){
Y[n] ~ binomial(M[n], q[n]);
}
}
generated quantities {
real y_pred[N];
for (n in 1:N)
y_pred[n] = binomial_rng(M[n], q[n]);
}Stanモデルの定義も終わっているので、書籍内で使用されているデータを利用して分析を実行する。
# パラメタの事後分布をすべて表示するため
# ロジスティック回帰では出席ごとの約2000行のデータを扱うので、
# パラメタの数が非常に多いが、紙面でもないので、全部表示しておく。
options(max.print = 999999)
library(dplyr)
library(ggplot2)
library(rstan)
d <- read.csv('https://raw.githubusercontent.com/MatsuuraKentaro/RStanBook/master/chap05/input/data-attendance-2.txt')
data <- list(N = nrow(d), A = d$A, Score = d$Score/200, M = d$M, Y = d$Y)
head(data)## $N
## [1] 50
##
## $A
## [1] 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0
## [39] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
##
## $Score
## [1] 0.345 0.725 0.625 0.430 0.790 0.665 0.555 0.735 0.730 0.725 0.705 0.685
## [13] 0.590 0.555 0.545 0.495 0.570 0.410 0.925 0.780 0.430 0.540 0.530 0.715
## [25] 0.585 0.640 0.595 0.595 0.805 0.565 0.825 0.370 0.690 0.620 0.630 0.655
## [37] 0.525 0.550 0.445 0.440 0.645 0.665 0.610 0.740 0.910 0.525 0.255 0.750
## [49] 0.495 0.495
##
## $M
## [1] 43 56 32 45 33 61 49 76 78 64 34 44 53 40 56 59 38 45 45 77 70 77 63 68 50
## [26] 51 29 37 18 49 75 12 23 37 59 55 88 47 22 41 57 32 53 31 23 51 22 38 23 67
##
## $Y
## [1] 38 40 24 33 23 60 35 47 63 57 18 30 33 28 46 37 27 28 43 50 31 49 38 45 37
## [26] 34 21 26 17 40 58 11 18 28 39 51 55 30 18 26 46 26 36 24 22 34 10 29 20 43ここでは、stan_model()関数で最初にコンパイルしておいてから、
sampling()関数でサンプリングする。
パラメタの解釈はオッズとなるため注意が必要。
\[ \begin{eqnarray} q[n] &=& inv\_logit(X) \\ &=& \frac{1}{1+exp(-X)} \\ \end{eqnarray} \]
さらに変化を進めるとオッズが出てくる。
\[ \begin{eqnarray} \frac{q}{1-q} &=& exp(-X)\\ \end{eqnarray} \]
推定結果は下記の通り。
## Inference for Stan model: anon_model.
## 4 chains, each with iter=2000; warmup=1000; thin=1;
## post-warmup draws per chain=1000, total post-warmup draws=4000.
##
## mean se_mean sd 2.5% 50% 97.5% n_eff Rhat
## b1 0.1 0.0 0.2 -0.3 0.1 0.5 1333 1
## b2 -0.6 0.0 0.1 -0.8 -0.6 -0.4 1646 1
## b3 1.9 0.0 0.4 1.2 1.9 2.6 1379 1
## q[1] 0.7 0.0 0.0 0.6 0.7 0.7 1415 1
## q[2] 0.7 0.0 0.0 0.7 0.7 0.7 2135 1
## q[3] 0.8 0.0 0.0 0.8 0.8 0.8 2382 1
## q[4] 0.6 0.0 0.0 0.5 0.6 0.6 1705 1
## q[5] 0.7 0.0 0.0 0.7 0.7 0.8 1854 1
## q[6] 0.8 0.0 0.0 0.8 0.8 0.8 2306 1
## q[7] 0.8 0.0 0.0 0.7 0.8 0.8 2121 1
## q[8] 0.7 0.0 0.0 0.7 0.7 0.7 2083 1
## q[9] 0.8 0.0 0.0 0.8 0.8 0.8 2050 1
## q[10] 0.8 0.0 0.0 0.8 0.8 0.8 2070 1
## q[11] 0.7 0.0 0.0 0.7 0.7 0.7 2249 1
## q[12] 0.8 0.0 0.0 0.8 0.8 0.8 2233 1
## q[13] 0.6 0.0 0.0 0.6 0.6 0.7 2533 1
## q[14] 0.8 0.0 0.0 0.7 0.8 0.8 2121 1
## q[15] 0.8 0.0 0.0 0.7 0.8 0.8 2060 1
## q[16] 0.6 0.0 0.0 0.6 0.6 0.6 1954 1
## q[17] 0.8 0.0 0.0 0.7 0.8 0.8 2210 1
## q[18] 0.7 0.0 0.0 0.7 0.7 0.7 1510 1
## q[19] 0.9 0.0 0.0 0.8 0.9 0.9 1612 1
## q[20] 0.7 0.0 0.0 0.7 0.7 0.8 1888 1
## q[21] 0.6 0.0 0.0 0.5 0.6 0.6 1705 1
## q[22] 0.6 0.0 0.0 0.6 0.6 0.7 2225 1
## q[23] 0.6 0.0 0.0 0.6 0.6 0.6 2159 1
## q[24] 0.7 0.0 0.0 0.7 0.7 0.7 2191 1
## q[25] 0.6 0.0 0.0 0.6 0.6 0.7 2509 1
## q[26] 0.7 0.0 0.0 0.6 0.7 0.7 2582 1
## q[27] 0.8 0.0 0.0 0.7 0.8 0.8 2326 1
## q[28] 0.8 0.0 0.0 0.7 0.8 0.8 2326 1
## q[29] 0.8 0.0 0.0 0.8 0.8 0.9 1812 1
## q[30] 0.8 0.0 0.0 0.7 0.8 0.8 2181 1
## q[31] 0.7 0.0 0.0 0.7 0.7 0.8 1755 1
## q[32] 0.5 0.0 0.0 0.5 0.5 0.6 1581 1
## q[33] 0.7 0.0 0.0 0.7 0.7 0.7 2339 1
## q[34] 0.7 0.0 0.0 0.6 0.7 0.7 2607 1
## q[35] 0.8 0.0 0.0 0.8 0.8 0.8 2380 1
## q[36] 0.8 0.0 0.0 0.8 0.8 0.8 2336 1
## q[37] 0.6 0.0 0.0 0.6 0.6 0.6 2127 1
## q[38] 0.8 0.0 0.0 0.7 0.8 0.8 2090 1
## q[39] 0.7 0.0 0.0 0.7 0.7 0.8 1612 1
## q[40] 0.7 0.0 0.0 0.7 0.7 0.8 1595 1
## q[41] 0.8 0.0 0.0 0.8 0.8 0.8 2360 1
## q[42] 0.8 0.0 0.0 0.8 0.8 0.8 2306 1
## q[43] 0.8 0.0 0.0 0.8 0.8 0.8 2371 1
## q[44] 0.8 0.0 0.0 0.8 0.8 0.8 2012 1
## q[45] 0.9 0.0 0.0 0.8 0.9 0.9 1629 1
## q[46] 0.7 0.0 0.0 0.7 0.7 0.8 1947 1
## q[47] 0.6 0.0 0.0 0.6 0.6 0.7 1366 1
## q[48] 0.8 0.0 0.0 0.8 0.8 0.8 1976 1
## q[49] 0.7 0.0 0.0 0.7 0.7 0.8 1801 1
## q[50] 0.6 0.0 0.0 0.6 0.6 0.6 1954 1
## y_pred[1] 29.1 0.1 3.3 23.0 29.0 35.0 3580 1
## y_pred[2] 39.4 0.1 3.5 32.0 39.0 46.0 3867 1
## y_pred[3] 25.1 0.0 2.4 20.0 25.0 29.0 3568 1
## y_pred[4] 25.7 0.1 3.4 19.0 26.0 32.0 3601 1
## y_pred[5] 23.9 0.0 2.6 19.0 24.0 29.0 3532 1
## y_pred[6] 48.6 0.1 3.2 42.0 49.0 55.0 3614 1
## y_pred[7] 37.2 0.1 3.1 31.0 37.0 43.0 3751 1
## y_pred[8] 53.5 0.1 4.2 45.0 54.0 61.0 3598 1
## y_pred[9] 63.5 0.1 3.6 56.0 64.0 70.0 3800 1
## y_pred[10] 52.0 0.1 3.2 45.0 52.0 58.0 3671 1
## y_pred[11] 23.5 0.0 2.7 18.0 24.0 29.0 4042 1
## y_pred[12] 35.2 0.0 2.7 30.0 35.0 40.0 3779 1
## y_pred[13] 34.2 0.1 3.5 27.0 34.0 41.0 3537 1
## y_pred[14] 30.4 0.0 2.7 25.0 30.0 35.0 4000 1
## y_pred[15] 42.3 0.1 3.3 35.0 42.0 49.0 3727 1
## y_pred[16] 35.6 0.1 4.0 28.0 36.0 43.0 3674 1
## y_pred[17] 29.0 0.0 2.7 24.0 29.0 34.0 3772 1
## y_pred[18] 31.7 0.1 3.2 25.0 32.0 38.0 3470 1
## y_pred[19] 38.8 0.0 2.5 34.0 39.0 43.0 3488 1
## y_pred[20] 55.6 0.1 4.2 47.0 56.0 64.0 3383 1
## y_pred[21] 40.2 0.1 4.4 32.0 40.0 49.0 3479 1
## y_pred[22] 48.1 0.1 4.4 39.0 48.0 56.0 4017 1
## y_pred[23] 39.0 0.1 4.0 31.0 39.0 47.0 3845 1
## y_pred[24] 47.3 0.1 3.9 39.0 47.0 55.0 3991 1
## y_pred[25] 32.0 0.1 3.5 25.0 32.0 39.0 3618 1
## y_pred[26] 33.9 0.1 3.5 27.0 34.0 40.0 3982 1
## y_pred[27] 22.4 0.0 2.3 18.0 23.0 27.0 3938 1
## y_pred[28] 28.5 0.0 2.6 23.0 29.0 33.0 3799 1
## y_pred[29] 15.0 0.0 1.6 12.0 15.0 18.0 3692 1
## y_pred[30] 37.4 0.0 3.1 31.0 38.0 43.0 4055 1
## y_pred[31] 55.5 0.1 4.0 47.0 56.0 63.0 3385 1
## y_pred[32] 6.6 0.0 1.8 3.0 7.0 10.0 3780 1
## y_pred[33] 15.8 0.0 2.2 11.0 16.0 20.0 3862 1
## y_pred[34] 24.4 0.0 2.9 19.0 24.0 30.0 3935 1
## y_pred[35] 46.2 0.1 3.3 40.0 46.0 52.0 3764 1
## y_pred[36] 43.5 0.0 3.1 37.0 44.0 49.0 3950 1
## y_pred[37] 54.2 0.1 4.8 44.0 54.0 63.0 3701 1
## y_pred[38] 35.6 0.0 3.0 29.0 36.0 41.0 3883 1
## y_pred[39] 15.8 0.0 2.2 11.0 16.0 20.0 3600 1
## y_pred[40] 29.4 0.0 3.0 23.0 30.0 35.0 3709 1
## y_pred[41] 45.0 0.1 3.2 38.0 45.0 51.0 3901 1
## y_pred[42] 25.5 0.0 2.3 21.0 26.0 30.0 4143 1
## y_pred[43] 41.3 0.1 3.1 35.0 41.0 47.0 3729 1
## y_pred[44] 25.3 0.0 2.2 21.0 25.0 29.0 4191 1
## y_pred[45] 19.8 0.0 1.7 16.0 20.0 23.0 3699 1
## y_pred[46] 38.1 0.0 3.1 32.0 38.0 44.0 3897 1
## y_pred[47] 14.1 0.0 2.3 10.0 14.0 18.0 3552 1
## y_pred[48] 31.1 0.0 2.4 26.0 31.0 35.0 4030 1
## y_pred[49] 17.0 0.0 2.2 13.0 17.0 21.0 3790 1
## y_pred[50] 40.3 0.1 4.2 32.0 40.0 48.0 3827 1
## lp__ -1389.4 0.0 1.2 -1392.6 -1389.0 -1388.0 1477 1
##
## Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Sat Dec 16 11:27:57 2023.
## For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,
## and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at
## convergence, Rhat=1).5.2.7 図によるモデルのチェック
二項ロジステイック回帰でも重回帰のときと同様に、各学生ごとに観測値と予測分布の散布図を書くことでモデルの予測性能の良し悪しを確認できる。ms$y_predにはMCMCサンプル数4000行、学生50人分の予測分布が保存されているので、パーセンタイルを計算して可視化する。書籍の図にfacet_grid(~A)を追加しているが、A=0の場合、観測値が大きいところで、予測分布がy=xを含まないケースが多い模様。
ms <- rstan::extract(fit)
qua <- apply(ms$y_pred, 2, quantile, prob = c(0.1, 0.5, 0.9))
d_est <- data.frame(d, t(qua), check.names = FALSE)
d_est$A <- as.factor(d_est$A)
ggplot(data = d_est, aes(x = Y, y = `50%`, ymin = `10%`, ymax = `90%`, shape = A, fill = A)) +
theme_bw(base_size = 18) + theme(legend.key.height = grid::unit(2.5,'line')) +
coord_fixed(ratio = 1, xlim = c(5, 70), ylim = c(5, 70)) +
geom_pointrange(size = 0.5, color = 'grey5') +
geom_abline(aes(slope = 1, intercept = 0), color = 'black', alpha = 3/5, linetype = 'dashed') +
scale_shape_manual(values = c(21, 24)) +
scale_fill_manual(values = c('white', 'grey70')) +
labs(x = 'Observed', y = 'Predicted') +
scale_x_continuous(breaks = seq(from = 0, to = 70, by = 20)) +
scale_y_continuous(breaks = seq(from = 0, to = 70, by = 20)) +
facet_grid(~ A)
5.3.5 モデル式の記述
次はロジスティック回帰モデルを扱う。使用されているデータは学生ごとに集計されたものではなく、1出席ごとに情報が記録されているデータ。
出席1行ごとに独立に確率分布から生成され、出席確率\(q\)は、線形結合\(b_{1} + b_{2}A[n] + b_{3}Score[n] + b_{4}Weather[i]\)をロジスティック関数で変換することで決まり、その\(q\)をパラメタとするベルヌイ分布に従って\(Y\)が生成されると仮定する。
\[ \begin{eqnarray} q[i] &=& inv\_logit(b_{1} + b_{2}A[i] + b_{3}Score[i] + b_{4}Weather[i]) \\ Y[i] &\sim& Bernoulli(q[i]) \end{eqnarray} \]
書籍でも指摘されているように、学生の出席行動が考慮されていないため、この仮定をおくことは少し無理がある。
data {
int I;
int<lower=0, upper=1> A[I];
real<lower=0, upper=1> Score[I];
real<lower=0, upper=1> W[I];
int<lower=0, upper=1> Y[I];
}
parameters {
real b[4];
}
transformed parameters {
real q[I];
for (i in 1:I){
q[i] = inv_logit(b[1] + b[2]*A[i] + b[3]*Score[i] + b[4]*W[i]);
}
}
model {
for (i in 1:I){
Y[i] ~ bernoulli(q[i]);
}
}Stanモデルの定義も終わっているので、書籍内で使用されているデータを利用して分析を実行する。
d <- read.csv('https://raw.githubusercontent.com/MatsuuraKentaro/RStanBook/master/chap05/input/data-attendance-3.txt')
conv <- c(0, 0.2, 1)
names(conv) <- c('A', 'B', 'C')
data <- list(I = nrow(d), A = d$A, Score = d$Score/200, W = conv[d$Weather], Y = d$Y)
str(data)## List of 5
## $ I : int 2396
## $ A : int [1:2396] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
## $ Score: num [1:2396] 0.345 0.345 0.345 0.345 0.345 0.345 0.345 0.345 0.345 0.345 ...
## $ W : Named num [1:2396] 0.2 0 1 0 0.2 0.2 1 0.2 0 0 ...
## ..- attr(*, "names")= chr [1:2396] "B" "A" "C" "A" ...
## $ Y : int [1:2396] 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 ...ここでは、stan_model()関数で最初にコンパイルしておいてから、
sampling()関数でサンプリングする。
推定結果はこちら。
## Inference for Stan model: anon_model.
## 4 chains, each with iter=2000; warmup=1000; thin=1;
## post-warmup draws per chain=1000, total post-warmup draws=4000.
##
## mean se_mean sd 2.5% 50% 97.5% n_eff Rhat
## b[1] 0.2 0 0.2 -0.3 0.2 0.6 1722 1
## b[2] -0.6 0 0.1 -0.8 -0.6 -0.4 2657 1
## b[3] 2.0 0 0.4 1.2 2.0 2.6 1697 1
## b[4] -0.5 0 0.1 -0.7 -0.5 -0.2 2550 1
## q[1] 0.7 0 0.0 0.6 0.7 0.7 1934 1
## q[2] 0.7 0 0.0 0.7 0.7 0.7 1925 1
## q[3] 0.6 0 0.0 0.5 0.6 0.7 2309 1
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## q[2318] 0.8 0 0.0 0.7 0.8 0.8 2376 1
## q[2319] 0.8 0 0.0 0.7 0.8 0.8 2376 1
## q[2320] 0.7 0 0.0 0.7 0.7 0.8 2417 1
## q[2321] 0.8 0 0.0 0.7 0.8 0.8 2376 1
## q[2322] 0.7 0 0.0 0.6 0.7 0.7 2680 1
## q[2323] 0.8 0 0.0 0.7 0.8 0.8 2376 1
## q[2324] 0.8 0 0.0 0.7 0.8 0.8 2376 1
## q[2325] 0.7 0 0.0 0.7 0.7 0.8 2417 1
## q[2326] 0.8 0 0.0 0.7 0.8 0.8 2376 1
## q[2327] 0.7 0 0.0 0.6 0.7 0.7 2680 1
## q[2328] 0.7 0 0.0 0.7 0.7 0.8 2417 1
## q[2329] 0.8 0 0.0 0.7 0.8 0.8 2376 1
## q[2330] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.6 2393 1
## q[2331] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2332] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2333] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2334] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2335] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.6 2393 1
## q[2336] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.6 2393 1
## q[2337] 0.5 0 0.0 0.5 0.5 0.6 2520 1
## q[2338] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.6 2393 1
## q[2339] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.6 2393 1
## q[2340] 0.5 0 0.0 0.5 0.5 0.6 2520 1
## q[2341] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2342] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2343] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2344] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2345] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.6 2393 1
## q[2346] 0.5 0 0.0 0.5 0.5 0.6 2520 1
## q[2347] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2348] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2349] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2350] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2351] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.6 2393 1
## q[2352] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2353] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.6 2393 1
## q[2354] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2355] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.6 2393 1
## q[2356] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.6 2393 1
## q[2357] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2358] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2359] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2360] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2361] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.6 2393 1
## q[2362] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.6 2393 1
## q[2363] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2364] 0.5 0 0.0 0.5 0.5 0.6 2520 1
## q[2365] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2366] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.6 2393 1
## q[2367] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2368] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2369] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.6 2393 1
## q[2370] 0.5 0 0.0 0.5 0.5 0.6 2520 1
## q[2371] 0.5 0 0.0 0.5 0.5 0.6 2520 1
## q[2372] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2373] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.6 2393 1
## q[2374] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2375] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.6 2393 1
## q[2376] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2377] 0.5 0 0.0 0.5 0.5 0.6 2520 1
## q[2378] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2379] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2380] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2381] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2382] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2383] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.6 2393 1
## q[2384] 0.5 0 0.0 0.5 0.5 0.6 2520 1
## q[2385] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.6 2393 1
## q[2386] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.6 2393 1
## q[2387] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2388] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2389] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2390] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.6 2393 1
## q[2391] 0.5 0 0.0 0.5 0.5 0.6 2520 1
## q[2392] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.6 2393 1
## q[2393] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2394] 0.6 0 0.0 0.6 0.6 0.7 2430 1
## q[2395] 0.5 0 0.0 0.5 0.5 0.6 2520 1
## q[2396] 0.5 0 0.0 0.5 0.5 0.6 2520 1
## lp__ -1383.1 0 1.4 -1386.7 -1382.8 -1381.3 1381 1
##
## Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Sat Dec 16 11:28:56 2023.
## For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,
## and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at
## convergence, Rhat=1).5.3.7 図によるモデルのチェック
このモデルではb[4]という形でベータをベクトルで指定したため、いつもと保存のされ方が異なり、列ごとに各ベータのMCMCサンプルが保存されている。
##
## iterations [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] 0.4011064 -0.7704119 1.835581 -0.3731301
## [2,] 0.2282584 -0.5073692 1.762074 -0.2858938
## [3,] 0.1444727 -0.4860878 1.747094 -0.4125683
## [4,] 0.6334529 -0.5326488 1.130849 -0.4021637
## [5,] 0.2876625 -0.7349331 1.927794 -0.4415133
## [6,] 0.3439009 -0.6568404 1.878428 -0.5201553書籍の条件通り、アルバイトが好きではないA=0、晴れW=0よりb2,b4は計算に含める必要がない。あとはスコア1点ごとに、各ベータの値4000個すべてを利用してq_mcmcを計算し、パーセンタイルを計算する。これをスコアの長さ分、繰り返す。
X <- 30:200
# 1:length(X)は1-171を返すが、スケーリングしているため、1が30に対応することになる
q_qua <- logistic(t(
sapply(1:length(X), function(i) {
q_mcmc <- ms$b[,1] + ms$b[,3]*X[i]/200
quantile(q_mcmc, probs = c(0.1, 0.5, 0.9))}
)
))
d_est <- data.frame(X, q_qua, check.names = FALSE)
d$A <- as.factor(d$A)
ggplot(d_est, aes(x = X, y = `50%`)) +
theme_bw(base_size = 18) +
geom_ribbon(aes(ymin = `10%`, ymax = `90%`), fill = 'black', alpha = 2/6) +
geom_line(size = 1) +
geom_point(data = subset(d, A == 0 & Weather == 'A'), aes(x = Score, y = Y, color = A),
position = position_jitter(w = 0, h = 0.1), size = 0.5) +
labs(x = 'Score', y = 'q') +
scale_color_manual(values = c('black')) +
scale_y_continuous(breaks = seq(0, 1, 0.2)) +
xlim(30, 200)
観測値と予測分布の散布図に似ている図は01のデータでは扱いにくい。そのため、バイオリンプロットを利用した作図が提案されている。横軸はq[i]の事後分布の中央値、縦軸にY[i]を取るプロットのこと。q[i]が小さい時は、Y=0に点が集中し、q[i]が大きい時は、Y=1に点が集中すれば、モデルの予測が上手くできていると考えることが可能。ms$qにはMCMCサンプル4000行、2396出席ごとのqが列として保存されているため、これを利用する。
qua <- apply(ms$q, 2, quantile, prob = c(0.1, 0.5, 0.9))
d_est <- data.frame(d, t(qua), check.names = FALSE)
d_est$Y <- as.factor(d_est$Y)
d_est$A <- as.factor(d_est$A)
ggplot(data = d_est, aes(x = Y, y = `50%`)) +
theme_bw(base_size = 18) +
coord_flip() +
geom_violin(trim = FALSE, size = 1, color = 'grey80') +
geom_point(aes(color = A), position = position_jitter(w = 0.3, h = 0), size = 0.5) +
scale_color_manual(values = c('grey5', 'grey50')) +
labs(x = 'Y', y = 'q')
5.4.1 メカニズムの想像
次はポアソン回帰モデルを扱う。使用されているデータは学生ごとに集計されたデータで、二項ロジスティック回帰モデルの時に使用したデータ。
総授業回数\(M\)に与えるアルバイトやスコアの関係性を分析する。この時に問題となるのは、総授業回数\(M\)はマイナスを取ることはないため、総授業回数\(M\)がマイナスを取らないように指数変換を行う。つまり、説明変数の線形結合を0以上の範囲に変換し、平均授業回数\(\lambda\)を決める。そして、平均授業回数\(\lambda\)をパラメタとするポアソン分布に従って、総授業回数\(M\)が生成されたと仮定する。
5.4.2 モデル式の記述
1人の学生ごとに独立に総授業回数\(M[n]\)は\(\lambda[n]\)を持つポアソン分布から生成されたと仮定する。
\[ \begin{eqnarray} \lambda[n] &=& exp(b_{1} + b_{2}A[n] + b_{3}Score[n]) \\ M[n] &\sim& Poisson(\lambda[n]) \end{eqnarray} \]
上記のモデルをStanファイルに記述する。
data {
int N;
int<lower=0, upper=1> A[N];
real<lower=0, upper=1> Score[N];
int<lower=0> M[N];
}
parameters {
real b[3];
}
transformed parameters {
real lambda[N];
for (n in 1:N){
lambda[n] = exp(b[1] + b[2]*A[n] + b[3]*Score[n]);
}
}
model {
for (n in 1:N){
M[n] ~ poisson(lambda[n]);
}
}
generated quantities {
real m_pred[N];
for (n in 1:N)
m_pred[n] = poisson_rng(lambda[n]);
}Stanモデルの定義も終わっているので、書籍内で使用されているデータを利用して分析を実行する。
d <- read.csv('https://raw.githubusercontent.com/MatsuuraKentaro/RStanBook/master/chap05/input/data-attendance-2.txt')
data <- list(N = nrow(d), A = d$A, Score = d$Score/200, M = d$M)
str(data)## List of 4
## $ N : int 50
## $ A : int [1:50] 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 ...
## $ Score: num [1:50] 0.345 0.725 0.625 0.43 0.79 0.665 0.555 0.735 0.73 0.725 ...
## $ M : int [1:50] 43 56 32 45 33 61 49 76 78 64 ...ここでは、stan_model()関数で最初にコンパイルしておいてから、
sampling()関数でサンプリングする。
推定結果はこちら。ベータは指数変換をして解釈することになるので、アルバイトの好き嫌いを表す\(b[2]\)は、\(exp(0.26)=1.16\)倍となる。つまり、アルバイトが好きな学生の総授業回数\(M\)は、そうではない学生に比べて1.16倍多い。
## Inference for Stan model: anon_model.
## 4 chains, each with iter=2000; warmup=1000; thin=1;
## post-warmup draws per chain=1000, total post-warmup draws=4000.
##
## mean se_mean sd 2.5% 50% 97.5% n_eff Rhat
## b[1] 3.6 0.0 0.1 3.4 3.6 3.7 1362 1
## b[2] 0.3 0.0 0.0 0.2 0.3 0.3 1533 1
## b[3] 0.3 0.0 0.1 0.0 0.3 0.6 1379 1
## lambda[1] 39.6 0.0 1.9 35.9 39.5 43.3 1455 1
## lambda[2] 57.6 0.0 1.9 53.8 57.6 61.5 2230 1
## lambda[3] 42.9 0.0 1.2 40.6 42.9 45.3 2378 1
## lambda[4] 52.8 0.1 2.1 48.6 52.8 57.1 1767 1
## lambda[5] 58.7 0.1 2.3 54.3 58.7 63.5 1961 1
## lambda[6] 43.5 0.0 1.3 40.9 43.5 46.0 2444 1
## lambda[7] 42.1 0.0 1.2 39.6 42.1 44.5 2023 1
## lambda[8] 57.8 0.0 2.0 53.8 57.8 61.8 2184 1
## lambda[9] 44.3 0.0 1.5 41.5 44.3 47.2 2263 1
## lambda[10] 44.2 0.0 1.4 41.4 44.2 47.1 2283 1
## lambda[11] 57.3 0.0 1.9 53.7 57.3 61.0 2323 1
## lambda[12] 43.7 0.0 1.3 41.1 43.7 46.3 2420 1
## lambda[13] 55.3 0.0 1.7 52.2 55.3 58.7 2458 1
## lambda[14] 42.1 0.0 1.2 39.6 42.1 44.5 2023 1
## lambda[15] 41.9 0.0 1.3 39.5 41.9 44.4 1969 1
## lambda[16] 53.8 0.0 1.9 50.2 53.8 57.6 2000 1
## lambda[17] 42.2 0.0 1.2 39.9 42.2 44.7 2106 1
## lambda[18] 40.3 0.0 1.6 37.2 40.3 43.5 1531 1
## lambda[19] 47.0 0.1 2.5 42.3 46.9 52.1 1718 1
## lambda[20] 58.6 0.1 2.2 54.2 58.5 63.2 1997 1
## lambda[21] 52.8 0.1 2.1 48.6 52.8 57.1 1767 1
## lambda[22] 54.5 0.0 1.7 51.1 54.5 58.0 2221 1
## lambda[23] 54.4 0.0 1.8 51.0 54.4 57.9 2169 1
## lambda[24] 57.4 0.0 1.9 53.8 57.4 61.2 2277 1
## lambda[25] 55.3 0.0 1.7 52.1 55.2 58.6 2439 1
## lambda[26] 56.2 0.0 1.7 52.9 56.2 59.6 2531 1
## lambda[27] 42.6 0.0 1.2 40.2 42.6 44.9 2244 1
## lambda[28] 42.6 0.0 1.2 40.2 42.6 44.9 2244 1
## lambda[29] 45.3 0.0 1.8 41.9 45.3 48.9 1983 1
## lambda[30] 42.2 0.0 1.2 39.8 42.2 44.6 2078 1
## lambda[31] 59.4 0.1 2.5 54.6 59.3 64.5 1853 1
## lambda[32] 51.9 0.1 2.4 47.2 51.9 56.9 1637 1
## lambda[33] 57.0 0.0 1.8 53.5 57.0 60.6 2389 1
## lambda[34] 55.8 0.0 1.7 52.6 55.8 59.2 2531 1
## lambda[35] 43.0 0.0 1.2 40.6 43.0 45.4 2395 1
## lambda[36] 43.3 0.0 1.2 40.8 43.3 45.8 2441 1
## lambda[37] 54.3 0.0 1.8 50.9 54.3 57.9 2144 1
## lambda[38] 42.0 0.0 1.2 39.6 42.0 44.5 1996 1
## lambda[39] 40.7 0.0 1.5 37.8 40.7 43.7 1597 1
## lambda[40] 40.7 0.0 1.5 37.7 40.6 43.7 1586 1
## lambda[41] 43.2 0.0 1.2 40.7 43.2 45.7 2430 1
## lambda[42] 43.5 0.0 1.3 40.9 43.5 46.0 2444 1
## lambda[43] 42.7 0.0 1.2 40.4 42.8 45.1 2318 1
## lambda[44] 44.4 0.0 1.5 41.5 44.4 47.4 2223 1
## lambda[45] 46.8 0.1 2.4 42.2 46.7 51.7 1741 1
## lambda[46] 41.7 0.0 1.3 39.1 41.7 44.2 1869 1
## lambda[47] 38.5 0.1 2.3 34.2 38.5 43.0 1405 1
## lambda[48] 44.6 0.0 1.5 41.6 44.6 47.7 2183 1
## lambda[49] 41.3 0.0 1.4 38.7 41.3 44.0 1744 1
## lambda[50] 53.8 0.0 1.9 50.2 53.8 57.6 2000 1
## m_pred[1] 39.7 0.1 6.6 28.0 40.0 53.0 3428 1
## m_pred[2] 57.7 0.1 7.8 43.0 57.0 73.0 3347 1
## m_pred[3] 42.9 0.1 6.6 31.0 43.0 57.0 3813 1
## m_pred[4] 52.8 0.1 7.4 39.0 53.0 67.0 3313 1
## m_pred[5] 58.8 0.1 8.1 43.0 59.0 75.0 3685 1
## m_pred[6] 43.4 0.1 6.8 31.0 43.0 57.0 3972 1
## m_pred[7] 42.0 0.1 6.5 30.0 42.0 55.0 3845 1
## m_pred[8] 57.8 0.1 7.9 43.0 58.0 74.0 3871 1
## m_pred[9] 44.4 0.1 6.8 31.0 44.0 59.0 3734 1
## m_pred[10] 44.2 0.1 6.8 31.0 44.0 58.0 3650 1
## m_pred[11] 57.3 0.1 7.8 43.0 57.0 73.0 3587 1
## m_pred[12] 43.6 0.1 6.8 31.0 43.0 57.0 3958 1
## m_pred[13] 55.2 0.1 7.7 41.0 55.0 71.0 3539 1
## m_pred[14] 42.1 0.1 6.6 30.0 42.0 55.0 4123 1
## m_pred[15] 42.0 0.1 6.6 30.0 42.0 55.0 3682 1
## m_pred[16] 53.9 0.1 7.6 40.0 54.0 69.0 3882 1
## m_pred[17] 42.3 0.1 6.6 30.0 42.0 55.0 3950 1
## m_pred[18] 40.4 0.1 6.6 28.0 40.0 54.0 3782 1
## m_pred[19] 46.9 0.1 7.4 33.0 47.0 62.0 3466 1
## m_pred[20] 58.7 0.1 8.0 44.0 59.0 75.0 3918 1
## m_pred[21] 53.0 0.1 7.4 39.0 53.0 68.0 3353 1
## m_pred[22] 54.7 0.1 7.5 40.0 54.0 70.0 3764 1
## m_pred[23] 54.6 0.1 7.6 40.0 54.0 70.0 3760 1
## m_pred[24] 57.4 0.1 8.0 42.0 57.0 74.0 4078 1
## m_pred[25] 55.5 0.1 7.6 41.0 55.0 70.0 3890 1
## m_pred[26] 56.3 0.1 7.8 42.0 56.0 72.0 3624 1
## m_pred[27] 42.7 0.1 6.7 30.0 43.0 56.0 4071 1
## m_pred[28] 42.6 0.1 6.6 30.0 42.0 56.0 3881 1
## m_pred[29] 45.4 0.1 6.9 32.0 45.0 59.0 3707 1
## m_pred[30] 42.2 0.1 6.7 30.0 42.0 56.0 4057 1
## m_pred[31] 59.3 0.1 8.1 44.0 59.0 76.0 3761 1
## m_pred[32] 51.8 0.1 7.5 37.0 52.0 67.0 3457 1
## m_pred[33] 57.2 0.1 7.9 42.0 57.0 73.0 3775 1
## m_pred[34] 55.7 0.1 7.7 41.0 55.0 72.0 3951 1
## m_pred[35] 43.0 0.1 6.7 30.0 43.0 57.0 3803 1
## m_pred[36] 43.4 0.1 6.7 31.0 43.0 57.0 3744 1
## m_pred[37] 54.6 0.1 7.6 40.0 54.0 70.0 3566 1
## m_pred[38] 41.9 0.1 6.5 30.0 42.0 55.0 4074 1
## m_pred[39] 40.8 0.1 6.6 28.0 40.0 54.0 3690 1
## m_pred[40] 40.9 0.1 6.6 29.0 41.0 55.0 3839 1
## m_pred[41] 43.3 0.1 6.7 30.0 43.0 57.0 4042 1
## m_pred[42] 43.3 0.1 6.7 31.0 43.0 57.0 3830 1
## m_pred[43] 42.8 0.1 6.7 31.0 42.0 56.0 3651 1
## m_pred[44] 44.3 0.1 6.9 31.0 44.0 58.0 4136 1
## m_pred[45] 46.8 0.1 7.3 33.0 47.0 62.0 3280 1
## m_pred[46] 41.9 0.1 6.6 30.0 42.0 56.0 3415 1
## m_pred[47] 38.3 0.1 6.7 25.0 38.0 52.0 3429 1
## m_pred[48] 44.5 0.1 6.8 32.0 44.0 58.0 3949 1
## m_pred[49] 41.3 0.1 6.6 29.0 41.0 55.0 3607 1
## m_pred[50] 53.6 0.1 7.5 39.0 53.0 69.0 3856 1
## lp__ 6896.6 0.0 1.2 6893.4 6896.9 6898.0 1452 1
##
## Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Sat Dec 16 11:29:30 2023.
## For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,
## and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at
## convergence, Rhat=1).練習問題5にある通り、図によるモデルのチェックも行っておく。ms$m_predにはMCMCサンプル数4000行、学生50人分の総授業回数\(M\)の予測分布が保存されているので、パーセンタイルを計算して可視化する。
\(M\)が低い学生と高い学生の予測分布がy=xを含んでおらず、予測があたっていない。アルバイトとスコアの説明変数だけでは説明できないといえる。
ms <- rstan::extract(fit)
qua <- apply(ms$m_pred, 2, quantile, prob = c(0.1, 0.5, 0.9))
d_est <- data.frame(d, t(qua), check.names = FALSE)
d_est$A <- as.factor(d_est$A)
ggplot(data = d_est, aes(x = M, y = `50%`, ymin = `10%`, ymax = `90%`, shape = A, fill = A)) +
coord_fixed(ratio = 1, xlim = c(10, 80), ylim = c(10, 80)) +
geom_pointrange(size = 0.8) +
geom_abline(aes(slope = 1, intercept = 0), color = 'black', alpha = 3/5, linetype = '31') +
scale_shape_manual(values = c(21, 24)) +
labs(x = 'Observed', y = 'Predicted')