ベイズ統計03-対数正規分布-
UPDATE: 2024-01-07 22:18:01.345937
はじめに
このノートは「ベイズ統計」に関する何らかの内容をまとめ、ベイズ統計への理解を深めていくために作成している。今回は「社会科学のためのベイズ統計モデリング」の第8章を写経していく。基本的には気になった部分を写経しながら、ところどころ自分用の補足をメモすることで、自分用の補足資料になることを目指す。私の解釈がおかしく、メモが誤っている場合があるので注意。
8.3.1 所得データの分析
所得データを分析する。所得は対数正規分布で近似できることはよく知られている。
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library(rstan)
library(ggplot2)
options(max.print = 999999)
rstan_options(auto_write=TRUE)
options(mc.cores=parallel::detectCores())
d <- read.csv('https://raw.githubusercontent.com/HiroshiHamada/BMS/master/ch08/SSPI2015.csv')
d## X Y Y2 FEM AGE EDU
## 1 1 87.5 88.5 1 61 12
## 2 2 37.5 38.5 1 37 16
## 3 3 0.0 1.0 0 52 12
## 4 4 700.0 701.0 0 41 16
## 5 5 87.5 88.5 1 56 12
## 6 6 375.0 376.0 0 57 12
## 7 7 2750.0 2751.0 1 50 12
## 8 8 325.0 326.0 0 36 12
## 9 9 800.0 801.0 1 45 18
## 10 10 425.0 426.0 0 63 14
## 11 11 87.5 88.5 1 42 14
## 12 12 325.0 326.0 1 29 14
## 13 13 500.0 501.0 1 50 12
## 14 14 325.0 326.0 0 28 18
## 15 15 425.0 426.0 0 43 12
## 16 16 275.0 276.0 0 38 12
## 17 17 600.0 601.0 0 52 12
## 18 18 500.0 501.0 0 43 12
## 19 19 425.0 426.0 0 40 12
## 20 20 62.5 63.5 1 29 14
## 21 21 325.0 326.0 0 46 12
## 22 22 175.0 176.0 0 61 9
## 23 23 500.0 501.0 1 57 12
## 24 24 112.5 113.5 1 40 14
## 25 25 800.0 801.0 0 39 16
## 26 26 87.5 88.5 1 52 12
## 27 27 325.0 326.0 0 58 16
## 28 28 62.5 63.5 1 39 12
## 29 29 425.0 426.0 0 59 9
## 30 30 500.0 501.0 0 37 16
## 31 31 137.5 138.5 0 56 16
## 32 32 225.0 226.0 1 28 14
## 33 33 425.0 426.0 1 45 16
## 34 34 0.0 1.0 1 27 12
## 35 35 137.5 138.5 1 41 12
## 36 36 225.0 226.0 0 57 12
## 37 37 375.0 376.0 0 37 16
## 38 38 62.5 63.5 1 59 12
## 39 39 425.0 426.0 1 33 16
## 40 40 700.0 701.0 0 42 12
## 41 41 325.0 326.0 1 26 14
## 42 42 137.5 138.5 1 22 12
## 43 43 700.0 701.0 0 44 12
## 44 44 225.0 226.0 1 24 16
## 45 45 325.0 326.0 0 61 12
## 46 46 375.0 376.0 0 46 12
## 47 47 375.0 376.0 0 40 12
## 48 48 112.5 113.5 1 39 14
## 49 49 137.5 138.5 0 44 12
## 50 50 175.0 176.0 1 51 12
## 51 51 0.0 1.0 1 63 16
## 52 52 25.0 26.0 1 59 12
## 53 53 87.5 88.5 1 52 14
## 54 54 225.0 226.0 1 49 12
## 55 55 112.5 113.5 1 35 12
## 56 56 112.5 113.5 1 61 12
## 57 57 87.5 88.5 1 42 12
## 58 58 325.0 326.0 1 27 12
## 59 59 700.0 701.0 0 41 12
## 60 60 600.0 601.0 0 49 14
## 61 61 325.0 326.0 0 41 12
## 62 62 0.0 1.0 0 62 9
## 63 63 87.5 88.5 0 59 12
## 64 64 37.5 38.5 1 39 14
## 65 65 137.5 138.5 1 54 12
## 66 66 500.0 501.0 0 39 16
## 67 67 0.0 1.0 1 60 12
## 68 68 425.0 426.0 1 46 12
## 69 69 2275.0 2276.0 0 54 9
## 70 70 325.0 326.0 1 31 16
## 71 71 87.5 88.5 1 45 12
## 72 72 112.5 113.5 1 24 14
## 73 73 0.0 1.0 1 31 12
## 74 74 87.5 88.5 1 64 12
## 75 75 425.0 426.0 1 28 12
## 76 76 175.0 176.0 1 48 16
## 77 77 2750.0 2751.0 0 48 16
## 78 78 1100.0 1101.0 0 43 18
## 79 79 175.0 176.0 0 57 16
## 80 80 375.0 376.0 0 38 16
## 81 81 25.0 26.0 1 50 12
## 82 82 900.0 901.0 1 49 14
## 83 83 175.0 176.0 1 57 12
## 84 84 37.5 38.5 1 22 16
## 85 85 325.0 326.0 0 39 12
## 86 86 700.0 701.0 0 34 16
## 87 87 137.5 138.5 0 58 16
## 88 88 225.0 226.0 1 28 14
## 89 89 1200.0 1201.0 1 50 12
## 90 90 1000.0 1001.0 0 57 16
## 91 91 325.0 326.0 0 41 12
## 92 92 900.0 901.0 0 59 16
## 93 93 137.5 138.5 1 36 12
## 94 94 500.0 501.0 0 42 12
## 95 95 800.0 801.0 0 41 16
## 96 96 900.0 901.0 0 52 12
## 97 97 37.5 38.5 1 62 9
## 98 98 275.0 276.0 1 26 18
## 99 99 225.0 226.0 1 50 14
## 100 100 425.0 426.0 0 54 14
## 101 101 375.0 376.0 0 62 12
## 102 102 225.0 226.0 1 41 12
## 103 103 700.0 701.0 0 51 16
## 104 104 325.0 326.0 1 60 12
## 105 105 500.0 501.0 0 45 16
## 106 106 25.0 26.0 1 29 12
## 107 107 800.0 801.0 0 49 12
## 108 108 137.5 138.5 1 35 12
## 109 109 87.5 88.5 1 25 16
## 110 110 500.0 501.0 0 42 12
## 111 111 175.0 176.0 0 40 12
## 112 112 225.0 226.0 1 30 9
## 113 113 600.0 601.0 0 61 16
## 114 114 0.0 1.0 1 36 12
## 115 115 112.5 113.5 1 44 12
## 116 116 0.0 1.0 1 61 12
## 117 117 10000.0 10001.0 0 22 12
## 118 118 87.5 88.5 1 61 14
## 119 119 425.0 426.0 0 53 12
## 120 120 600.0 601.0 0 56 12
## 121 121 275.0 276.0 1 26 16
## 122 122 87.5 88.5 1 43 14
## 123 123 175.0 176.0 0 64 16
## 124 124 1400.0 1401.0 0 46 21
## 125 125 325.0 326.0 0 49 12
## 126 126 425.0 426.0 0 36 16
## 127 127 425.0 426.0 1 29 16
## 128 128 0.0 1.0 1 20 16
## 129 129 325.0 326.0 1 60 12
## 130 130 500.0 501.0 1 58 12
## 131 131 87.5 88.5 0 63 9
## 132 132 25.0 26.0 0 39 12
## 133 133 425.0 426.0 0 53 16
## 134 134 0.0 1.0 1 40 12
## 135 135 225.0 226.0 1 25 16
## 136 136 600.0 601.0 1 39 16
## 137 137 275.0 276.0 0 42 12
## 138 138 325.0 326.0 0 53 12
## 139 139 375.0 376.0 1 58 12
## 140 140 25.0 26.0 1 50 16
## 141 141 62.5 63.5 1 38 12
## 142 142 325.0 326.0 0 37 12
## 143 143 0.0 1.0 1 20 18
## 144 144 0.0 1.0 0 21 16
## 145 145 87.5 88.5 1 45 12
## 146 146 112.5 113.5 1 61 12
## 147 147 425.0 426.0 0 51 12
## 148 148 225.0 226.0 0 33 14
## 149 149 0.0 1.0 0 23 16
## 150 150 225.0 226.0 0 41 12
## 151 151 275.0 276.0 1 54 12
## 152 152 375.0 376.0 1 49 16
## 153 153 1900.0 1901.0 1 41 14
## 154 154 1000.0 1001.0 0 59 16
## 155 155 600.0 601.0 0 34 12
## 156 156 375.0 376.0 0 33 12
## 157 157 0.0 1.0 1 52 12
## 158 158 0.0 1.0 0 59 12
## 159 159 175.0 176.0 1 62 12
## 160 160 225.0 226.0 1 45 12
## 161 161 325.0 326.0 0 39 14
## 162 162 0.0 1.0 1 46 12
## 163 163 425.0 426.0 1 36 12
## 164 164 900.0 901.0 0 58 16
## 165 165 375.0 376.0 1 32 18
## 166 166 225.0 226.0 0 25 12
## 167 167 175.0 176.0 1 54 14
## 168 168 600.0 601.0 1 46 12
## 169 169 425.0 426.0 1 57 12
## 170 170 425.0 426.0 1 40 12
## 171 171 225.0 226.0 1 23 12
## 172 172 87.5 88.5 1 57 12
## 173 173 325.0 326.0 0 35 18
## 174 174 0.0 1.0 0 40 12
## 175 175 500.0 501.0 0 44 16
## 176 176 112.5 113.5 1 58 12
## 177 177 37.5 38.5 0 20 16
## 178 178 87.5 88.5 1 51 12
## 179 179 0.0 1.0 1 31 14
## 180 180 700.0 701.0 0 47 12
## 181 181 225.0 226.0 0 22 12
## 182 182 137.5 138.5 0 26 16
## 183 183 275.0 276.0 1 53 12
## 184 184 275.0 276.0 1 44 18
## 185 185 0.0 1.0 1 56 12
## 186 186 175.0 176.0 1 52 12
## 187 187 0.0 1.0 1 30 16
## 188 188 62.5 63.5 1 36 12
## 189 189 87.5 88.5 1 62 14
## 190 190 600.0 601.0 1 40 14
## 191 191 800.0 801.0 0 54 16
## 192 192 500.0 501.0 0 63 16
## 193 193 137.5 138.5 1 41 21
## 194 194 275.0 276.0 0 28 12
## 195 195 225.0 226.0 1 32 12
## 196 196 137.5 138.5 1 56 12
## 197 197 62.5 63.5 0 64 12
## 198 198 112.5 113.5 1 56 12
## 199 199 375.0 376.0 0 33 12
## 200 200 37.5 38.5 0 24 14
## 201 201 25.0 26.0 0 31 16
## 202 202 275.0 276.0 1 22 16
## 203 203 325.0 326.0 1 55 12
## 204 204 500.0 501.0 0 58 16
## 205 205 325.0 326.0 1 44 14
## 206 206 25.0 26.0 1 22 16
## 207 207 87.5 88.5 1 45 14
## 208 208 112.5 113.5 1 56 12
## 209 209 112.5 113.5 0 42 12
## 210 210 600.0 601.0 1 64 12
## 211 211 225.0 226.0 1 33 12
## 212 212 600.0 601.0 1 36 16
## 213 213 700.0 701.0 0 61 16
## 214 214 112.5 113.5 1 36 12
## 215 215 175.0 176.0 0 38 14
## 216 216 25.0 26.0 1 62 16
## 217 217 600.0 601.0 0 50 12
## 218 218 175.0 176.0 0 64 12
## 219 219 0.0 1.0 1 20 16
## 220 220 37.5 38.5 0 46 16
## 221 221 1300.0 1301.0 0 62 16
## 222 222 1000.0 1001.0 0 59 16
## 223 223 325.0 326.0 1 39 12
## 224 224 375.0 376.0 0 38 12
## 225 225 425.0 426.0 1 49 12
## 226 226 175.0 176.0 1 64 12
## 227 227 225.0 226.0 1 30 9
## 228 228 0.0 1.0 1 43 9
## 229 229 275.0 276.0 0 44 16
## 230 230 175.0 176.0 1 31 12
## 231 231 225.0 226.0 1 60 9
## 232 232 137.5 138.5 0 44 12
## 233 233 275.0 276.0 0 62 9
## 234 234 25.0 26.0 1 63 12
## 235 235 600.0 601.0 0 36 12
## 236 236 700.0 701.0 0 61 12
## 237 237 112.5 113.5 1 35 12
## 238 238 0.0 1.0 1 36 14
## 239 239 425.0 426.0 0 50 12
## 240 240 225.0 226.0 0 51 16
## 241 241 425.0 426.0 0 57 16
## 242 242 375.0 376.0 0 35 16
## 243 243 137.5 138.5 1 45 12
## 244 244 425.0 426.0 0 27 16
## 245 245 500.0 501.0 0 34 16
## 246 246 275.0 276.0 1 54 14
## 247 247 500.0 501.0 1 53 14
## 248 248 425.0 426.0 0 23 12
## 249 249 275.0 276.0 0 30 12
## 250 250 87.5 88.5 1 63 12
## 251 251 137.5 138.5 1 28 16
## 252 252 275.0 276.0 0 64 9
## 253 253 225.0 226.0 1 62 12
## 254 254 62.5 63.5 1 56 12
## 255 255 375.0 376.0 0 43 12
## 256 256 375.0 376.0 0 44 16
## 257 257 500.0 501.0 1 46 12
## 258 258 87.5 88.5 1 37 12
## 259 259 25.0 26.0 1 23 12
## 260 260 87.5 88.5 0 25 18
## 261 261 600.0 601.0 1 44 12
## 262 262 800.0 801.0 0 46 12
## 263 263 325.0 326.0 0 62 12
## 264 264 800.0 801.0 0 34 12
## 265 265 25.0 26.0 1 61 9
## 266 266 225.0 226.0 1 38 16
## 267 267 0.0 1.0 1 21 12
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## 802 802 275.0 276.0 1 22 16
## 803 803 700.0 701.0 0 60 9
## 804 804 225.0 226.0 1 50 12
## 805 805 25.0 26.0 0 22 12
## 806 806 500.0 501.0 0 57 12
## 807 807 275.0 276.0 1 57 14
## 808 808 137.5 138.5 1 53 14
## 809 809 325.0 326.0 1 56 12
## 810 810 0.0 1.0 1 34 16
## 811 811 425.0 426.0 0 32 16
## 812 812 137.5 138.5 0 61 9
## 813 813 700.0 701.0 0 35 12
## 814 814 500.0 501.0 0 52 9
## 815 815 800.0 801.0 0 40 16
## 816 816 225.0 226.0 1 55 9
## 817 817 0.0 1.0 1 23 16
## 818 818 275.0 276.0 0 38 9
## 819 819 0.0 1.0 1 59 12
## 820 820 175.0 176.0 1 55 14
## 821 821 375.0 376.0 0 41 14
## 822 822 87.5 88.5 1 36 14
## 823 823 37.5 38.5 1 63 12
## 824 824 25.0 26.0 0 61 12
## 825 825 0.0 1.0 1 45 12
## 826 826 0.0 1.0 1 35 16
## 827 827 225.0 226.0 1 62 12
## 828 828 600.0 601.0 0 36 16
## 829 829 800.0 801.0 0 44 12
## 830 830 87.5 88.5 1 58 12
## 831 831 600.0 601.0 0 42 16
## 832 832 375.0 376.0 1 37 19
## 833 833 225.0 226.0 0 48 12
## 834 834 0.0 1.0 1 39 12
## 835 835 375.0 376.0 1 59 12
## 836 836 112.5 113.5 1 37 14
## 837 837 225.0 226.0 0 23 16
## 838 838 87.5 88.5 1 55 12
## 839 839 137.5 138.5 0 54 21
## 840 840 137.5 138.5 0 64 12
## 841 841 600.0 601.0 0 40 16
## 842 842 2275.0 2276.0 0 61 16
## 843 843 112.5 113.5 1 32 12
## 844 844 137.5 138.5 1 64 12
## 845 845 425.0 426.0 1 57 12
## 846 846 325.0 326.0 0 37 14
## 847 847 37.5 38.5 1 31 14
## 848 848 325.0 326.0 1 33 14
## 849 849 62.5 63.5 1 56 12
## 850 850 425.0 426.0 0 55 12
## 851 851 900.0 901.0 0 45 16
## 852 852 87.5 88.5 0 22 16
## 853 853 700.0 701.0 0 42 12
## 854 854 1400.0 1401.0 1 61 9
## 855 855 0.0 1.0 1 43 12
## 856 856 175.0 176.0 1 26 18
## 857 857 87.5 88.5 0 21 16
## 858 858 112.5 113.5 1 58 14
## 859 859 325.0 326.0 1 28 14
## 860 860 425.0 426.0 0 24 12
## 861 861 25.0 26.0 1 30 12
## 862 862 25.0 26.0 1 63 14
## 863 863 275.0 276.0 1 62 14
## 864 864 375.0 376.0 0 23 16
## 865 865 275.0 276.0 0 39 12
## 866 866 112.5 113.5 1 27 12
## 867 867 375.0 376.0 0 42 14
## 868 868 275.0 276.0 1 54 12
## 869 869 225.0 226.0 1 40 14
## 870 870 175.0 176.0 1 61 12
## 871 871 700.0 701.0 0 40 12
## 872 872 500.0 501.0 0 42 12
## 873 873 175.0 176.0 1 32 12
## 874 874 375.0 376.0 0 27 16
## 875 875 175.0 176.0 1 63 9
## 876 876 275.0 276.0 1 26 16
## 877 877 112.5 113.5 1 23 16
## 878 878 137.5 138.5 1 54 12
## 879 879 225.0 226.0 0 62 16
## 880 880 375.0 376.0 0 62 12
## 881 881 500.0 501.0 0 58 12
## 882 882 87.5 88.5 1 41 12
## 883 883 275.0 276.0 0 33 14
## 884 884 0.0 1.0 1 47 12
## 885 885 137.5 138.5 1 41 12
## 886 886 0.0 1.0 1 50 16
## 887 887 275.0 276.0 1 25 16
## 888 888 0.0 1.0 0 60 12
## 889 889 0.0 1.0 1 25 12
## 890 890 87.5 88.5 1 48 12
## 891 891 25.0 26.0 1 63 16
## 892 892 225.0 226.0 1 48 14
## 893 893 500.0 501.0 0 56 12
## 894 894 37.5 38.5 1 41 12
## 895 895 25.0 26.0 0 21 16
## 896 896 325.0 326.0 1 35 14
## 897 897 375.0 376.0 0 36 12
## 898 898 112.5 113.5 1 63 14
## 899 899 137.5 138.5 0 61 12
## 900 900 37.5 38.5 1 40 12
## 901 901 325.0 326.0 0 56 12
## 902 902 225.0 226.0 0 52 14
## 903 903 225.0 226.0 0 26 9
## 904 904 600.0 601.0 0 58 12
## 905 905 325.0 326.0 0 51 16
## 906 906 425.0 426.0 0 21 12
## 907 907 0.0 1.0 1 41 14
## 908 908 87.5 88.5 1 61 12
## 909 909 0.0 1.0 1 29 12
## 910 910 700.0 701.0 0 40 12
## 911 911 900.0 901.0 0 51 14
## 912 912 112.5 113.5 1 42 12
## 913 913 175.0 176.0 1 52 12
## 914 914 175.0 176.0 0 50 12
## 915 915 112.5 113.5 1 43 12
## 916 916 325.0 326.0 0 34 14
## 917 917 87.5 88.5 1 59 12
## 918 918 0.0 1.0 0 20 12
## 919 919 425.0 426.0 0 46 12
## 920 920 500.0 501.0 0 61 16
## 921 921 375.0 376.0 0 58 12
## 922 922 325.0 326.0 1 47 14
## 923 923 25.0 26.0 0 50 16
## 924 924 62.5 63.5 1 55 12
## 925 925 112.5 113.5 1 32 16
## 926 926 0.0 1.0 1 39 16
## 927 927 225.0 226.0 1 54 14
## 928 928 500.0 501.0 1 39 16
## 929 929 225.0 226.0 0 27 12
## 930 930 600.0 601.0 1 51 12
## 931 931 25.0 26.0 0 27 14
## 932 932 275.0 276.0 0 47 12
## 933 933 275.0 276.0 1 25 12
## 934 934 500.0 501.0 1 48 14
## 935 935 700.0 701.0 0 51 12
## 936 936 175.0 176.0 0 34 12
## 937 937 325.0 326.0 0 33 14
## 938 938 600.0 601.0 0 57 12
## 939 939 500.0 501.0 0 45 12
## 940 940 800.0 801.0 0 64 12
## 941 941 500.0 501.0 0 30 12
## 942 942 112.5 113.5 0 63 12
## 943 943 87.5 88.5 0 32 14
## 944 944 325.0 326.0 1 40 12
## 945 945 425.0 426.0 0 56 12
## 946 946 275.0 276.0 0 25 16
## 947 947 325.0 326.0 1 23 12
## 948 948 275.0 276.0 1 39 14
## 949 949 87.5 88.5 1 35 12
## 950 950 600.0 601.0 0 39 16
## 951 951 112.5 113.5 1 21 12
## 952 952 800.0 801.0 0 58 16
## 953 953 1600.0 1601.0 0 63 16
## 954 954 700.0 701.0 0 50 12
## 955 955 0.0 1.0 1 38 12
## 956 956 500.0 501.0 0 64 18
## 957 957 112.5 113.5 1 47 16
## 958 958 800.0 801.0 1 52 16
## 959 959 600.0 601.0 1 47 18
## 960 960 600.0 601.0 0 63 9
## 961 961 62.5 63.5 1 46 12
## 962 962 62.5 63.5 1 59 9
## 963 963 1200.0 1201.0 0 52 16
## 964 964 375.0 376.0 0 61 12
## 965 965 25.0 26.0 1 42 14
## 966 966 325.0 326.0 0 55 12
## 967 967 0.0 1.0 1 31 16
## 968 968 425.0 426.0 0 61 12
## 969 969 375.0 376.0 0 47 12
## 970 970 175.0 176.0 1 40 16
## 971 971 225.0 226.0 0 64 9
## 972 972 275.0 276.0 0 21 12
## 973 973 375.0 376.0 0 29 12
## 974 974 325.0 326.0 0 39 12
## 975 975 375.0 376.0 1 43 14
## 976 976 425.0 426.0 1 63 12
## 977 977 87.5 88.5 0 61 9
## 978 978 700.0 701.0 0 50 16
## 979 979 500.0 501.0 0 41 12
## 980 980 325.0 326.0 0 29 12
## 981 981 175.0 176.0 1 22 12
## 982 982 87.5 88.5 1 49 12
## 983 983 112.5 113.5 1 40 12
## 984 984 800.0 801.0 0 59 16
## 985 985 87.5 88.5 1 43 12
## 986 986 425.0 426.0 0 44 9
## 987 987 175.0 176.0 1 26 9
## 988 988 0.0 1.0 1 39 12
## 989 989 0.0 1.0 1 45 12
## 990 990 800.0 801.0 1 52 14
## 991 991 700.0 701.0 0 34 18
## 992 992 0.0 1.0 1 59 16
## 993 993 0.0 1.0 1 52 12
## 994 994 225.0 226.0 0 24 12
## 995 995 600.0 601.0 0 52 16
## 996 996 425.0 426.0 0 25 16
## 997 997 700.0 701.0 0 34 14
## 998 998 275.0 276.0 0 57 9
## 999 999 500.0 501.0 1 44 16
## 1000 1000 62.5 63.5 1 21 12SSPI2015の個人年収のヒストグラムを可視化すると、多くの回答者の所得が0であることがわかる。この部分は対数正規分布では上手く説明できないため、そもそものデータが生成された過程を考えてモデリングする必要がある。
ggplot(d, aes(Y))+
geom_histogram(boundary = 0, binwidth = 30) +
scale_x_continuous(breaks = seq(0,2000,100), limits = c(0, 2000)) +
labs(title = 'SSP2015 SamplingData') +
theme_bw()
所得が0である回答者は1000人中105人おり、全体の10%を占めている。
d %>%
filter(Y == 0) %>%
count()## n
## 1 105これまで見たように、この所得データは単純に対数正規分布から生成されているようなデータではない。例えば、データが2段階に別れているとする。そもそも1段目でお金を稼げる状態にあるかどうかが決まり、稼ぐ事ができる場合、それらは対数正規分布に従うが、稼ぐことができない場合、所得は0となる。このようなメカニズムを想定したほうが、可視化されたヒストグラムを上手く説明できそうである。
つまり、確率\(q\)で非稼得状態となり、その場合の所得\(Y\)は0となる。一方で、確率\(1-q\)で稼得状態となり、その場合の所得\(Y\)は対数正規分布から生成されるというメカニズムを仮定する。
今回の分析では、このように「稼得状態に入るかどうか」「稼得者となり\(Y \gt 0\)の所得を稼ぐ」という2つのプロセスが合成された確率密度関数を利用する。ベルヌーイ分布は「実現値が1の時は非稼得状態」で、「実現値が0の時は稼得状態」とする。
HLはハードル(Hurdle)と対数正規分布(LogNormal)の略で、ハードルモデルと呼ばれる。
\[ \begin{eqnarray} HL(y | q, \mu, \sigma) &=& \left\{ \begin{array}{l} Bernoulli(1|q), \ \ y=0\\ Bernoulli(0|q) × LogNormal(y | \mu, \sigma), \ \ y \gt 0 \\ \end{array} \right.\\ &=& \left\{ \begin{array}{l} q, \ \ y=0\\ (1-q) × \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}y}exp \left( \frac{(logy-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\right), \ \ y \gt 0 \\ \end{array} \right.\\ \end{eqnarray} \]
ただ、この\(q\)を推定するだけではなく、どういった人は非稼得状態になりやすいのかを知りたいため、\(q\)に対するモデルを考える。稼得状態になるかどうかはベルヌーイ分布で表します。このベルヌーイ分布のパラメタ\(q\)が性別(FEM)、年齢(AGE)、教育年数(EDU)に影響を受けると仮定する。また、稼得者状態になった場合の所得のパラメタ\(\mu\)も性別(FEM)、年齢(AGE)、教育年数(EDU)に影響を受けると仮定する。つまり、所得の分布は0の場合と、正の場合とで条件分岐する確率密度関数\(HL(y | q, \mu,
\sigma)\)によって定まる。
\[ \begin{eqnarray} q_{i} &=& logistic(a_{1} + a_{2}FEM_{i} + a_{3}AGE_{i} + a_{4}EDU_{i}) \\ \mu_{i} &=& b_{1} + b_{2}FEM_{i} + b_{3}AGE_{i} + b_{4}EDU_{i} \\ Y_{i} &\sim& HL(q_{i}, \mu_{i}, \sigma) \end{eqnarray} \]
8.3.2 MCMCの結果
Stanのモデルは下記の通り。
functions {
real ZIL_lpdf(real Y, real q, real mu, real sigma) {
if (Y == 0) {
return
bernoulli_lpmf(1 | q);
} else {
return bernoulli_lpmf(0 | q) + lognormal_lpdf(Y | mu, sigma);
}
}
}
data {
int n;
real<lower=0> Y[n];
int<lower=0> FEM[n];
real AGE[n];
real EDU[n];
}
parameters {
real a[4];
real b[4];
real<lower=0> sigma;
}
transformed parameters {
real mu[n];
real<lower=0,upper=1> q[n];
for (i in 1:n){
q[i] = inv_logit(a[1] + a[2]*FEM[i] + a[3]*AGE[i] + a[4]*EDU[i]);
mu[i] = b[1] + b[2]*FEM[i] + b[3]*AGE[i] + b[4]*EDU[i];
}
}
model {
for (i in 1:n){
Y[i] ~ ZIL(q[i], mu[i], sigma);
}
}
generated quantities{
real log_lik[n];
for(i in 1:n){
log_lik[i] = ZIL_lpdf(Y[i]|q[i], mu[i], sigma);
}
}このモデルを少し深掘りしておく。確率密度関数ZIL_lpdfが定義しており、4つの値\(y, q,
\mu,\sigma\)を受け取る。関数本体で条件分岐が行われてリ、具体的には、\(Y=0\)の場合とそれ以外の場合に分かれている。
\(Y=0\)の場合、bernoulli_lpmf(1|q)は、ベルヌイ分布に従う確率変数が1である確率の対数確率質量関数(log
probability mass
function)を計算している。これはqが1である確率。\(Y=1\)の場合、bernoulli_lpmf(0|q)は、ベルヌイ分布に従う確率変数が0である確率の対数確率質量関数を計算している。これはqが0である確率であり、この場合は加えてlognormal_lpdf(Y|mu, sigma)は、平均muで標準偏差sigmaの対数正規分布に従う確率変数の対数確率密度関数を計算して足し込んでいる。
functions {
real ZIL_lpdf(real Y, real q, real mu, real sigma) {
if (Y == 0) {
return bernoulli_lpmf(1 | q);
} else {
return bernoulli_lpmf(0 | q) + lognormal_lpdf(Y | mu, sigma);
}
}
}モデルの定義も完了しているので、データを用意して、サンプリングを行う。
data <- list(n = nrow(d),Y = d$Y, FEM = d$FEM,AGE = d$AGE,EDU = d$EDU)ここでは、stan_model()関数で最初にコンパイルしておいてから、
model <- stan_model('note_bayes03−001.stan')sampling()関数でサンプリングする。
fit <- sampling(object = model, data = data, seed = 1989)推定結果を確認する。2つの分布を合成したモデリングを行うことで、稼得状態かどうかを決める\(q\)と所得の大小を決める\(\mu\)への影響を同時に推定できる。
- 稼得状態か非稼得状態を決める
a[2]=FEM: 女性であれば非稼得状態になりやすいa[3]=AGE: 若いほど非稼得状態になりやすいa[4]=EDU: 信用区間が0をまたぐため影響は小さい- 稼得状態の場合、所得の大小を決める
b[2]=FEM: 女性であれば所得が低くなりやすいb[3]=AGE: 信用区間が0をまたぐため影響は小さいb[4]=EDU: 学歴が長いほど所得が大きくなりやすい
# print(fit, pars = c('a', 'b', 'sigma'))
print(fit)## Inference for Stan model: anon_model.
## 4 chains, each with iter=2000; warmup=1000; thin=1;
## post-warmup draws per chain=1000, total post-warmup draws=4000.
##
## mean se_mean sd 2.5% 25% 50% 75%
## a[1] -2.29 0.02 0.91 -4.09 -2.90 -2.30 -1.68
## a[2] 1.32 0.00 0.25 0.85 1.15 1.31 1.49
## a[3] -0.02 0.00 0.01 -0.04 -0.03 -0.02 -0.02
## a[4] 0.02 0.00 0.05 -0.08 -0.01 0.02 0.06
## b[1] 4.68 0.01 0.24 4.21 4.52 4.68 4.84
## b[2] -0.81 0.00 0.06 -0.93 -0.85 -0.81 -0.77
## b[3] 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01
## b[4] 0.08 0.00 0.01 0.05 0.07 0.08 0.09
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## log_lik[805] -7.63 3081 1
## log_lik[806] -7.04 3735 1
## log_lik[807] -6.55 3140 1
## log_lik[808] -5.81 3138 1
## log_lik[809] -6.95 4406 1
## log_lik[810] -1.36 3257 1
## log_lik[811] -6.83 3805 1
## log_lik[812] -5.93 2981 1
## log_lik[813] -7.69 2751 1
## log_lik[814] -7.16 2641 1
## log_lik[815] -7.67 3914 1
## log_lik[816] -6.44 3996 1
## log_lik[817] -1.12 3784 1
## log_lik[818] -6.39 2849 1
## log_lik[819] -1.91 4021 1
## log_lik[820] -6.00 3119 1
## log_lik[821] -6.70 3574 1
## log_lik[822] -5.62 3864 1
## log_lik[823] -5.67 4701 1
## log_lik[824] -8.24 3812 1
## log_lik[825] -1.71 3741 1
## log_lik[826] -1.39 3163 1
## log_lik[827] -6.30 4013 1
## log_lik[828] -7.24 3920 1
## log_lik[829] -7.93 2817 1
## log_lik[830] -5.49 4410 1
## log_lik[831] -7.22 3651 1
## log_lik[832] -6.91 2877 1
## log_lik[833] -6.27 3076 1
## log_lik[834] -1.59 3264 1
## log_lik[835] -7.21 4542 1
## log_lik[836] -5.72 3672 1
## log_lik[837] -6.39 5120 1
## log_lik[838] -5.49 4245 1
## log_lik[839] -7.04 2502 1
## log_lik[840] -6.20 4370 1
## log_lik[841] -7.23 3736 1
## log_lik[842] -9.89 3076 1
## log_lik[843] -5.65 3030 1
## log_lik[844] -5.75 3639 1
## log_lik[845] -7.50 4480 1
## log_lik[846] -6.57 3668 1
## log_lik[847] -5.84 3819 1
## log_lik[848] -6.99 4244 1
## log_lik[849] -5.46 4558 1
## log_lik[850] -6.83 3523 1
## log_lik[851] -7.86 3578 1
## log_lik[852] -6.61 4968 1
## log_lik[853] -7.67 2791 1
## log_lik[854] -11.53 4009 1
## log_lik[855] -1.68 3576 1
## log_lik[856] -6.11 3472 1
## log_lik[857] -6.60 5002 1
## log_lik[858] -5.68 3171 1
## log_lik[859] -7.02 4428 1
## log_lik[860] -6.90 2942 1
## log_lik[861] -5.88 3142 1
## log_lik[862] -6.42 3375 1
## log_lik[863] -6.52 3168 1
## log_lik[864] -6.72 3969 1
## log_lik[865] -6.40 3134 1
## log_lik[866] -5.66 2968 1
## log_lik[867] -6.69 3575 1
## log_lik[868] -6.67 4211 1
## log_lik[869] -6.36 3553 1
## log_lik[870] -5.99 3565 1
## log_lik[871] -7.67 2757 1
## log_lik[872] -7.09 2950 1
## log_lik[873] -6.10 3192 1
## log_lik[874] -6.72 3954 1
## log_lik[875] -6.02 4332 1
## log_lik[876] -6.65 4357 1
## log_lik[877] -5.79 4298 1
## log_lik[878] -5.77 3524 1
## log_lik[879] -6.49 3015 1
## log_lik[880] -6.68 3448 1
## log_lik[881] -7.04 3795 1
## log_lik[882] -5.50 3351 1
## log_lik[883] -6.44 3815 1
## log_lik[884] -1.75 3888 1
## log_lik[885] -5.80 3260 1
## log_lik[886] -1.63 2357 1
## log_lik[887] -6.65 4428 1
## log_lik[888] -3.00 3797 1
## log_lik[889] -1.23 2837 1
## log_lik[890] -5.50 3761 1
## log_lik[891] -6.77 2681 1
## log_lik[892] -6.32 3225 1
## log_lik[893] -7.05 3674 1
## log_lik[894] -5.62 3463 1
## log_lik[895] -8.65 4281 1
## log_lik[896] -6.98 4117 1
## log_lik[897] -6.72 3128 1
## log_lik[898] -5.68 3167 1
## log_lik[899] -6.19 4092 1
## log_lik[900] -5.61 3383 1
## log_lik[901] -6.54 3392 1
## log_lik[902] -6.37 3744 1
## log_lik[903] -6.19 2486 1
## log_lik[904] -7.32 3939 1
## log_lik[905] -6.61 3435 1
## log_lik[906] -6.90 2956 1
## log_lik[907] -1.62 3447 1
## log_lik[908] -5.49 4535 1
## log_lik[909] -1.34 2879 1
## log_lik[910] -7.67 2757 1
## log_lik[911] -7.98 3748 1
## log_lik[912] -5.64 3285 1
## log_lik[913] -6.02 3576 1
## log_lik[914] -6.18 2987 1
## log_lik[915] -5.64 3321 1
## log_lik[916] -6.57 3657 1
## log_lik[917] -5.49 4456 1
## log_lik[918] -2.01 2550 1
## log_lik[919] -6.85 3240 1
## log_lik[920] -6.97 3397 1
## log_lik[921] -6.68 3455 1
## log_lik[922] -6.90 3286 1
## log_lik[923] -9.17 3242 1
## log_lik[924] -5.45 4507 1
## log_lik[925] -5.80 3573 1
## log_lik[926] -1.46 2823 1
## log_lik[927] -6.29 3131 1
## log_lik[928] -7.64 3061 1
## log_lik[929] -6.24 2891 1
## log_lik[930] -8.42 4056 1
## log_lik[931] -8.28 3662 1
## log_lik[932] -6.40 3222 1
## log_lik[933] -6.83 3414 1
## log_lik[934] -7.77 3296 1
## log_lik[935] -7.62 3281 1
## log_lik[936] -6.13 2556 1
## log_lik[937] -6.57 3650 1
## log_lik[938] -7.32 3849 1
## log_lik[939] -7.08 3053 1
## log_lik[940] -7.80 4391 1
## log_lik[941] -7.12 2863 1
## log_lik[942] -6.25 4332 1
## log_lik[943] -6.47 3798 1
## log_lik[944] -7.08 3655 1
## log_lik[945] -6.83 3549 1
## log_lik[946] -6.49 4732 1
## log_lik[947] -7.17 3470 1
## log_lik[948] -6.67 3731 1
## log_lik[949] -5.50 3163 1
## log_lik[950] -7.23 3781 1
## log_lik[951] -5.67 2933 1
## log_lik[952] -7.59 3153 1
## log_lik[953] -8.93 2941 1
## log_lik[954] -7.63 3199 1
## log_lik[955] -1.56 3199 1
## log_lik[956] -6.97 3036 1
## log_lik[957] -5.79 2519 1
## log_lik[958] -8.63 2506 1
## log_lik[959] -7.74 2345 1
## log_lik[960] -7.43 3402 1
## log_lik[961] -5.45 3729 1
## log_lik[962] -5.19 3966 1
## log_lik[963] -8.38 3256 1
## log_lik[964] -6.68 3452 1
## log_lik[965] -6.36 3481 1
## log_lik[966] -6.54 3388 1
## log_lik[967] -1.30 3494 1
## log_lik[968] -6.82 3651 1
## log_lik[969] -6.70 3353 1
## log_lik[970] -6.06 3022 1
## log_lik[971] -6.19 3221 1
## log_lik[972] -6.41 2916 1
## log_lik[973] -6.73 3012 1
## log_lik[974] -6.55 3265 1
## log_lik[975] -7.20 3518 1
## log_lik[976] -7.43 4631 1
## log_lik[977] -5.96 3114 1
## log_lik[978] -7.42 3332 1
## log_lik[979] -7.09 2924 1
## log_lik[980] -6.56 3077 1
## log_lik[981] -6.14 3094 1
## log_lik[982] -5.50 3832 1
## log_lik[983] -5.64 3219 1
## log_lik[984] -7.58 3149 1
## log_lik[985] -5.50 3447 1
## log_lik[986] -6.93 2443 1
## log_lik[987] -6.18 2703 1
## log_lik[988] -1.59 3264 1
## log_lik[989] -1.71 3741 1
## log_lik[990] -8.94 3274 1
## log_lik[991] -7.39 3878 1
## log_lik[992] -1.73 2322 1
## log_lik[993] -1.83 4087 1
## log_lik[994] -6.24 2854 1
## log_lik[995] -7.20 3360 1
## log_lik[996] -6.84 3879 1
## log_lik[997] -7.57 3695 1
## log_lik[998] -6.37 3185 1
## log_lik[999] -7.60 2685 1
## log_lik[1000] -5.38 2924 1
## lp__ -6366.56 1715 1
##
## Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Sun Jan 7 22:18:33 2024.
## For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,
## and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at
## convergence, Rhat=1).事後分布を可視化しておく。
stan_plot(
fit,
pars = c('a', 'b', 'sigma'),
point_est = 'mean',
ci_level = 0.95,
outer_level = 1.00,
show_density = TRUE,
fill_color = 'grey') +
theme_bw()
8.3.3 一般家線形モデルとの比較
データ生成過程を考えない場合、対数正規分布を使ったモデリングを行うことも可能ではある。
data {
int n;
real<lower=0> Y[n];
int<lower=0> FEM[n];
real AGE[n];
real EDU[n];
}
parameters {
real b[4];
real<lower=0> sigma;
}
transformed parameters {
real mu[n];
for (i in 1:n){
mu[i] = b[1] + b[2]*FEM[i] + b[3]*AGE[i] + b[4]*EDU[i];
}
}
model {
for (i in 1:n)
Y[i] ~ lognormal(mu[i], sigma);
}
generated quantities{
real log_lik[n];
for(i in 1:n){
log_lik[i] = lognormal_lpdf(Y[i]|mu[i], sigma);
}
}ここでは、stan_model()関数で最初にコンパイルしておいてから、
model <- stan_model('note_bayes03−002.stan')sampling()関数でサンプリングする。\(Y=0\)だと分析できないので、\(Y=0+1=1\)と変換してから分析する。
data2 <- list(n = nrow(d),Y = d$Y2, FEM = d$FEM,AGE = d$AGE,EDU = d$EDU)fit_glm <- sampling(object = model, data = data2, seed = 1989)推定結果を確認する。
- 稼得状態の場合、所得の大小を決める
b[2]=FEM: 女性であれば所得が低くなりやすいb[3]=AGE: 年齢が大きいほど所得が大きくなりやすいb[4]=EDU: 学歴が長いほど所得が大きくなりやすい
print(fit_glm)## Inference for Stan model: anon_model.
## 4 chains, each with iter=2000; warmup=1000; thin=1;
## post-warmup draws per chain=1000, total post-warmup draws=4000.
##
## mean se_mean sd 2.5% 25% 50% 75%
## b[1] 4.04 0.01 0.46 3.13 3.74 4.03 4.35
## b[2] -1.31 0.00 0.11 -1.53 -1.39 -1.31 -1.24
## b[3] 0.02 0.00 0.00 0.01 0.01 0.02 0.02
## b[4] 0.06 0.00 0.03 0.01 0.04 0.06 0.08
## sigma 1.79 0.00 0.04 1.71 1.76 1.79 1.81
## mu[1] 4.49 0.00 0.11 4.28 4.42 4.49 4.57
## mu[2] 4.34 0.00 0.11 4.13 4.27 4.34 4.41
## mu[3] 5.65 0.00 0.09 5.48 5.59 5.65 5.72
## mu[4] 5.72 0.00 0.10 5.51 5.65 5.72 5.79
## mu[5] 4.41 0.00 0.09 4.23 4.35 4.41 4.47
## mu[6] 5.74 0.00 0.10 5.54 5.67 5.74 5.81
## mu[7] 4.31 0.00 0.09 4.14 4.25 4.31 4.37
## mu[8] 5.39 0.00 0.11 5.18 5.31 5.39 5.46
## mu[9] 4.60 0.00 0.15 4.30 4.49 4.60 4.70
## mu[10] 5.96 0.00 0.12 5.73 5.89 5.96 6.04
## mu[11] 4.30 0.00 0.08 4.14 4.25 4.30 4.35
## mu[12] 4.08 0.00 0.11 3.88 4.01 4.08 4.15
## mu[13] 4.31 0.00 0.09 4.14 4.25 4.31 4.37
## mu[14] 5.62 0.00 0.15 5.32 5.52 5.62 5.72
## mu[15] 5.50 0.00 0.09 5.32 5.44 5.50 5.57
## mu[16] 5.42 0.00 0.10 5.22 5.35 5.42 5.49
## mu[17] 5.65 0.00 0.09 5.48 5.59 5.65 5.72
## mu[18] 5.50 0.00 0.09 5.32 5.44 5.50 5.57
## mu[19] 5.45 0.00 0.10 5.27 5.38 5.45 5.52
## mu[20] 4.08 0.00 0.11 3.88 4.01 4.08 4.15
## mu[21] 5.55 0.00 0.09 5.38 5.49 5.55 5.62
## mu[22] 5.62 0.00 0.15 5.33 5.52 5.62 5.72
## mu[23] 4.43 0.00 0.10 4.24 4.36 4.43 4.49
## mu[24] 4.27 0.00 0.08 4.10 4.21 4.26 4.32
## mu[25] 5.68 0.00 0.10 5.48 5.61 5.68 5.75
## mu[26] 4.34 0.00 0.09 4.17 4.28 4.34 4.40
## mu[27] 6.00 0.00 0.12 5.76 5.92 6.00 6.08
## mu[28] 4.13 0.00 0.09 3.95 4.07 4.13 4.19
## mu[29] 5.59 0.00 0.15 5.29 5.49 5.59 5.69
## mu[30] 5.65 0.00 0.11 5.44 5.58 5.65 5.72
## mu[31] 5.97 0.00 0.12 5.73 5.89 5.97 6.05
## mu[32] 4.07 0.00 0.11 3.86 3.99 4.06 4.14
## mu[33] 4.47 0.00 0.11 4.26 4.40 4.47 4.55
## mu[34] 3.93 0.00 0.12 3.70 3.84 3.92 4.01
## mu[35] 4.16 0.00 0.09 3.99 4.10 4.16 4.22
## mu[36] 5.74 0.00 0.10 5.54 5.67 5.74 5.81
## mu[37] 5.65 0.00 0.11 5.44 5.58 5.65 5.72
## mu[38] 4.46 0.00 0.10 4.26 4.39 4.46 4.53
## mu[39] 4.27 0.00 0.11 4.05 4.20 4.27 4.35
## mu[40] 5.49 0.00 0.10 5.30 5.42 5.49 5.55
## mu[41] 4.03 0.00 0.12 3.81 3.95 4.03 4.11
## mu[42] 3.84 0.00 0.14 3.57 3.75 3.84 3.94
## mu[43] 5.52 0.00 0.09 5.34 5.46 5.52 5.58
## mu[44] 4.12 0.00 0.13 3.86 4.03 4.12 4.21
## mu[45] 5.80 0.00 0.11 5.59 5.73 5.80 5.88
## mu[46] 5.55 0.00 0.09 5.38 5.49 5.55 5.62
## mu[47] 5.45 0.00 0.10 5.27 5.38 5.45 5.52
## mu[48] 4.25 0.00 0.08 4.08 4.19 4.25 4.31
## mu[49] 5.52 0.00 0.09 5.34 5.46 5.52 5.58
## mu[50] 4.33 0.00 0.09 4.16 4.27 4.33 4.39
## mu[51] 4.77 0.00 0.15 4.48 4.68 4.78 4.87
## mu[52] 4.46 0.00 0.10 4.26 4.39 4.46 4.53
## mu[53] 4.47 0.00 0.09 4.29 4.41 4.47 4.53
## mu[54] 4.29 0.00 0.08 4.12 4.24 4.29 4.35
## mu[55] 4.06 0.00 0.10 3.87 3.99 4.06 4.13
## mu[56] 4.49 0.00 0.11 4.28 4.42 4.49 4.57
## mu[57] 4.18 0.00 0.09 4.01 4.12 4.18 4.23
## mu[58] 3.93 0.00 0.12 3.70 3.84 3.92 4.01
## mu[59] 5.47 0.00 0.10 5.29 5.40 5.47 5.53
## mu[60] 5.73 0.00 0.08 5.57 5.67 5.73 5.78
## mu[61] 5.47 0.00 0.10 5.29 5.40 5.47 5.53
## mu[62] 5.64 0.00 0.15 5.34 5.53 5.64 5.74
## mu[63] 5.77 0.00 0.11 5.57 5.70 5.77 5.84
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## log_lik[937] -7.26 3063 1
## log_lik[938] -7.91 3140 1
## log_lik[939] -7.74 2714 1
## log_lik[940] -8.23 3393 1
## log_lik[941] -7.78 2181 1
## log_lik[942] -6.35 3743 1
## log_lik[943] -6.06 2541 1
## log_lik[944] -7.63 3062 1
## log_lik[945] -7.53 3006 1
## log_lik[946] -7.08 3068 1
## log_lik[947] -7.72 2507 1
## log_lik[948] -7.34 3654 1
## log_lik[949] -5.96 3021 1
## log_lik[950] -7.92 3131 1
## log_lik[951] -6.28 2751 1
## log_lik[952] -8.20 2345 1
## log_lik[953] -9.04 2170 1
## log_lik[954] -8.13 2855 1
## log_lik[955] -3.87 3038 1
## log_lik[956] -7.68 2862 1
## log_lik[957] -6.19 2691 1
## log_lik[958] -8.74 1882 1
## log_lik[959] -8.23 1767 1
## log_lik[960] -7.92 2819 1
## log_lik[961] -5.61 2958 1
## log_lik[962] -5.61 2988 1
## log_lik[963] -8.73 2426 1
## log_lik[964] -7.39 2955 1
## log_lik[965] -4.87 3345 1
## log_lik[966] -7.25 2971 1
## log_lik[967] -3.97 3319 1
## log_lik[968] -7.52 2983 1
## log_lik[969] -7.41 2928 1
## log_lik[970] -6.71 2655 1
## log_lik[971] -6.89 2956 1
## log_lik[972] -7.10 2502 1
## log_lik[973] -7.44 2381 1
## log_lik[974] -7.26 2837 1
## log_lik[975] -7.76 3349 1
## log_lik[976] -7.82 3345 1
## log_lik[977] -6.09 2612 1
## log_lik[978] -8.07 2627 1
## log_lik[979] -7.75 2532 1
## log_lik[980] -7.28 2526 1
## log_lik[981] -6.84 2660 1
## log_lik[982] -5.95 2946 1
## log_lik[983] -6.24 3059 1
## log_lik[984] -8.20 2327 1
## log_lik[985] -5.95 2997 1
## log_lik[986] -7.57 2031 1
## log_lik[987] -6.87 1858 1
## log_lik[988] -3.89 3058 1
## log_lik[989] -4.02 3154 1
## log_lik[990] -8.84 2641 1
## log_lik[991] -8.09 2972 1
## log_lik[992] -4.53 1941 1
## log_lik[993] -4.15 3177 1
## log_lik[994] -6.88 2818 1
## log_lik[995] -7.89 2655 1
## log_lik[996] -7.55 3483 1
## log_lik[997] -8.17 3030 1
## log_lik[998] -7.08 2930 1
## log_lik[999] -8.09 2227 1
## log_lik[1000] -5.62 2975 1
## lp__ -1995.74 1640 1
##
## Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Sun Jan 7 22:18:59 2024.
## For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,
## and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at
## convergence, Rhat=1).事後分布を可視化しておく。
stan_plot(
fit_glm,
pars = c('b', 'sigma'),
point_est = 'mean',
ci_level = 0.95,
outer_level = 1.00,
show_density = TRUE,
fill_color = 'grey') +
theme_bw()
どちらのモデルが妥当かどうかは判断は難しい問題である。WAICの小ささであれば、ハードルモデルのほうが良いと言えるが、機械的な優劣はつけれない。ただ、ハードルモデルでは\(Y\)に1を足すことのバイアスを避けれたりするメリットは存在する。
list(
HL = loo::waic(extract(fit)$log_lik),
GLM = loo::waic(extract(fit_glm)$log_lik)
)## $HL
##
## Computed from 4000 by 1000 log-likelihood matrix
##
## Estimate SE
## elpd_waic -6374.6 56.7
## p_waic 9.9 0.6
## waic 12749.2 113.4
##
## $GLM
##
## Computed from 4000 by 1000 log-likelihood matrix
##
## Estimate SE
## elpd_waic -6927.4 39.7
## p_waic 6.0 0.5
## waic 13854.7 79.5